Gravitación. Clásico

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Ir abajo

Gravitación. Clásico

Mensaje por Herschel el Sáb Feb 26, 2011 11:59 pm

Considere el planeta tierra como un esfera perfecta de radio igual al radio promedio real y con densidad uniforme igual a la densidad promedio.
Se hace un túnel que lo atraviesa diametralmente en linea recta,lo suficiente mente delgado para ser despreciable con respecto al planeta y se suelta(en reposo) un cuerpo de masa M por uno de los extremos del túnel(suponga que no se funde en el centro)

a) caracterice el movimiento después de que se suelta.
b)en el caso de llegar hasta el otro extremo del túnel, calcule el tiempo que demora en llegar al otro extremo
(reemplace con los valores numéricos)

c)suponga ahora que se crea un túnel recto entre dos puntos cualquiera de la superficie,
repita la parte a) y b) y compare los tiempos obtenidos(suponga que no hay roce)
d)¿que pasaría con lo anterior si manteniendo la densidad del planeta , hacemos crecer el radio??



Última edición por Herschel el Dom Feb 27, 2011 3:37 pm, editado 1 vez
avatar
Herschel
Aprendiz
Aprendiz

Mensajes : 17
Fecha de inscripción : 21/09/2010
Edad : 26

Ver perfil de usuario

Volver arriba Ir abajo

Re: Gravitación. Clásico

Mensaje por francisco mm el Dom Feb 27, 2011 11:33 am

dios! que buena pregunta! lastima que no quiero divagar jaja saludos
avatar
francisco mm
Team PSU 2011
Team PSU 2011

Mensajes : 41
Fecha de inscripción : 18/02/2011

Ver perfil de usuario

Volver arriba Ir abajo

Re: Gravitación. Clásico

Mensaje por mau_map el Dom Feb 27, 2011 12:55 pm

La atracción gravitacional viene dada por la conocida ecuación de Newton para mecanica clásica:

F=G m M /r²

Con G constante universal y M la masa de la tierra. Ahora supongamos que r<R con R el radio de la tierra. La masa que provocará atracción es la encerrada en la esfera de radio r. Para calcularla utilizaremos la densidad (d) de la tierra. Se cumple:

d=M/V=M'/(4/3xpi r³)

Con M' la masa encerrada dentro de la esfera de radio r<R. De la ultima ecuación se despeja M' (notar que V es el volumen de la tierra de radio R, por lo tanto se simplifican los 4/3xpi):

M'=M r³/R³

Reemplanzando ahora en la primera ecuación:

F=G m M' /r²=G m M r / R³

Es decir, la fuerza, cuando la masa esta dentro de la tierra, es directamente proporcional a la distancia que hay entre el centro de la tierra y la masa. (aqui omiti que la masa de afuera no produce ninguna fuerza de atracción, puesto que se anula por la simetría de la esfera)

Ahora, para hacer la sumatoria de fuerzas, colocaré el eje x tal que coincida con el tunel, y el origen en el centro de la tierra. Se tiene:

mx''=-G m M x / R³

Que corresponde a la ecuación de movimiento del oscilador armónico. La posición en función del tiempo se escribe:

x(t)=Asen(wt)+Bcos(wt)

Con A,B constantes a determinar, y w²=G M / R³.
Reemplazando los datos iniciales (x(0)=R y x'(0)=0) se tiene A=0 y B=R

x(t)=Rcos(wt)

Para determinar el tiempo que demora, se reemplaza x=-R y despeja el tiempo:

-R=Rcos(wt)
-1=cos(wt)
wt=pi
t=pi/w

con w²=G M / R³. En realidad no me se los datos de memoria xd en otra oportunidad los reemplazare, o que otra persona amable lo haga :D

hint: para el que se anime con la parte C, realizar el mismo procedimiento anterior trajabando con un ángulo en particular (generalmente el más obvio). Y si aumenta al radio de la tierra, la frecuencia angular disminuye, por lo tanto se demora más en llegar de un extremo a otro (para el primer caso, hay que analizar el segundo)

p.d: quiero latex jaja xd

mau_map
Cientifico
Cientifico

Mensajes : 41
Fecha de inscripción : 23/02/2011

Ver perfil de usuario

Volver arriba Ir abajo

Re: Gravitación. Clásico

Mensaje por Herschel el Dom Feb 27, 2011 2:08 pm

mau_map escribió:La atracción gravitacional viene dada por la conocida ecuación de Newton para mecanica clásica:

F=G m M /r²

Con G constante universal y M la masa de la tierra. Ahora supongamos que r<R con R el radio de la tierra. La masa que provocará atracción es la encerrada en la esfera de radio r. Para calcularla utilizaremos la densidad (d) de la tierra. Se cumple:

d=M/V=M'/(4/3xpi r³)

Con M' la masa encerrada dentro de la esfera de radio r<R. De la ultima ecuación se despeja M' (notar que V es el volumen de la tierra de radio R, por lo tanto se simplifican los 4/3xpi):

M'=M r³/R³

Reemplanzando ahora en la primera ecuación:

F=G m M' /r²=G m M r / R³

Es decir, la fuerza, cuando la masa esta dentro de la tierra, es directamente proporcional a la distancia que hay entre el centro de la tierra y la masa. (aqui omiti que la masa de afuera no produce ninguna fuerza de atracción, puesto que se anula por la simetría de la esfera)

Ahora, para hacer la sumatoria de fuerzas, colocaré el eje x tal que coincida con el tunel, y el origen en el centro de la tierra. Se tiene:

mx''=-G m M x / R³

Que corresponde a la ecuación de movimiento del oscilador armónico. La posición en función del tiempo se escribe:

x(t)=Asen(wt)+Bcos(wt)

Con A,B constantes a determinar, y w²=G M / R³.
Reemplazando los datos iniciales (x(0)=R y x'(0)=0) se tiene A=0 y B=R

x(t)=Rcos(wt)

Para determinar el tiempo que demora, se reemplaza x=-R y despeja el tiempo:

-R=Rcos(wt)
-1=cos(wt)
wt=pi
t=pi/w

con w²=G M / R³. En realidad no me se los datos de memoria xd en otra oportunidad los reemplazare, o que otra persona amable lo haga :D

hint: para el que se anime con la parte C, realizar el mismo procedimiento anterior trajabando con un ángulo en particular (generalmente el más obvio). Y si aumenta al radio de la tierra, la frecuencia angular disminuye, por lo tanto se demora más en llegar de un extremo a otro (para el primer caso, hay que analizar el segundo)

p.d: quiero latex jaja xd
bien la parte a) y b), aunque en la parte b) falta reemplazar con los valores numéricos
generalmente en los problemas prefiero dejar las respuestas en termino de los parámetros,
pero en este caso interesante reemplazarlos,el valor es bastante inesperado

sobre el HINT que diste, note que si el radio aumenta manteniendo la densidad, entonces la masa también aumenta

saludos
avatar
Herschel
Aprendiz
Aprendiz

Mensajes : 17
Fecha de inscripción : 21/09/2010
Edad : 26

Ver perfil de usuario

Volver arriba Ir abajo

Re: Gravitación. Clásico

Mensaje por Herschel el Dom Feb 27, 2011 2:25 pm

como recomendación para la parte c)
explote la simetría del problema
por ejemplo, con un sistema de coordenadas tal que uno de los puntos este sobre el eje z y el otro contenido en el plano xz
avatar
Herschel
Aprendiz
Aprendiz

Mensajes : 17
Fecha de inscripción : 21/09/2010
Edad : 26

Ver perfil de usuario

Volver arriba Ir abajo

Re: Gravitación. Clásico

Mensaje por Contenido patrocinado


Contenido patrocinado


Volver arriba Ir abajo

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Volver arriba

- Temas similares

 
Permisos de este foro:
No puedes responder a temas en este foro.